عرض مصدر جيب (رياضيات)

{{وضح|3=جيب (توضيح)}}
{{صندوق معلومات دالة رياضية
| اسم = الجيب
| صورة = Sine one period.svg
| تعليق = تمثيل دالة الجيب في جملة الإحداثيات الديكارتيّة 
| حجم صورة = 
| بدل صورة = 
| ترميز    = <math> \sin (x) </math>
| دالة عكسية = <math> \arcsin (x) </math>
| مشتق دالة = <math> \cos (x) </math>
| مشتق عكسي = <math> -\cos(x) + C </math>
| التكافؤ = فردي
| مجال = <math> \mathbb{R}= ]-\infty , +\infty[</math>
| مجال مقابل = <math> [-1 , 1]</math>
| دالة دورية = 2{{pi}}
| plusinf = 
| minusinf = 
| vr1 = 
| صفر = 0
| حد أعلى = <math>(\frac {\pi}{2}+2 k \pi, 1)</math>
| حد أدنى = <math>(-\frac {\pi}{2}+2 k \pi, -1)</math>
| f1 = 
| vr2 = 
| f2 = 
| vr3 = 
| f3 = 
| vr4 = 
| f4 = 
| vr5 = 
| f5 = 
| خط مقارب = 
| جذر = <math>k \pi</math>
| نقطة حرجة =  <math>\frac {\pi}{2}+k \pi</math>
| نقطة انقلاب = <math>k \pi</math>
| نقطة ثابتة = 0
| ملاحظات = <math>k\in\mathbb{Z}</math>
}}
في [[الرياضيات]]، '''جيب''' زاوية {{إنج|Sine of an angle}} هو طول الضلع المقابل لهذه الزاوية مقسوما على طول الوتر في [[مثلث]] ذي [[زاوية قائمة]]، حيث يكون [[الوتر]] هو الضلع المقابل للزاوية القائمة. ويرمز له بالرمز (جا) أو (حا) أو {{إنج|sin}}.

في المثلث القائم في الشكل حيث يُرمز للوتر (الضلع الأكبر في المثلث) بالرمز c. فيكون تعريف جيب الزاوية A كالآتي:

جيب الزاوية A = الضلع a ÷ الوتر (أي  نسبة الضلع  a  إلى الضلع  c).

في [[الرياضيات]] وفي [[الفيزياء]] وفي [[الهندسة]]، تعتبر التوابع المثلثية أو [[الدوال المثلثية]] دوالا لزاوية هندسية من أهم الدوال المستخدمة فيها. وهي دوال تتردد في صيغ كثيرة جدا في العلوم ولا مجال لتقدم العلوم بدونها. ومن دراسة حساب المثلثات يمكن وصف  ظواهرِ دورية مثل  حساب أفلاك [[كوكب|الكواكب]] في [[الفلك]] وحسابات [[التيار المتردد]] في [[الهندسة الكهربائية]] وغيرها.

يمكن تعريف هذه الدوال نسبة بين أضلاع مثلث قائم يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عمومية إحداثيات على [[دائرة واحدية]].

الدوال المثلثية هي دوال ترتبط بالزاوية، وهي مهمة في دراسة المثلثات وتمثيل الظواهر الدورية المتكررة [[موجة|كالموجات]]. ويمكن تعريف الدوال المثلثية على أنها نسب بين ضلعين في مثلث قائم فيه الزاوية المعنية، أو بشكل أوسع نسبةً بين إحداثيات نقاط على دائرة الوحدة، ويعتبر دوما عند الإشارة إلى المثلثات أن الحديث يدور حول مثلث في '''سطح مستوي '''(مستوى إحداثي أو إقليدي)، وذلك ليكون مجموع الزوايا 180 درجة دائما.

== أصل التسمية ==
استعيرت كلمة جيب من لفظ في لغة هندية قديمة تعرف [[السنسكريتية|بالسنسكريتية]] هو jīvā بمعنى وتر وكانت ترادفها أيضاً كلمة jyā في تلك اللغة والتي استعملت في الأصل لوصف وتر قوس المحارب. يقال أن الكلمة jīvā استعيرت إلى العربية "جيبا" أثناء ترجمة العرب للكتب الهندية حيث كان فيهم علماء مولعين بالرياضيات.{{بحاجة لمصدر|تاريخ=أبريل 2019}}

== الدوال الرئيسية للمثلث القائم ==
{{ مفصلة| حساب المثلثات }}

هناك ثلاثة دوال مثلثية أساسية هي:

* جا أو جيب الزاوية A  = النسبة بين الضلع المقابل للزاوية a مقسوما على الوتر c.
* جتا أو [[جيب التمام]] الزاوية  A = النسبة بين الضلع المجاور للزاوية a مقسوما على الوتر c.
* ظا أو  ظل الزاوية A = النسبة بين الضلع المقابل للزاوية a والضلع المجاور لها b.

==تأطيره==
بصفة عامة، قيمة جيب الزاوية محصورة بين 1- و1، وكذلك قيمة [[جيب تمام]] الزواية.
و بصفة خاصة، جيب [[زاوية حادة|الزاوية الحادة]] محصور بين 0 و1، وكذلك جيب التمام لها.<ref>
[https://www.boocverymath.com  موقع كتاب فيري للرياضيات.]</ref>

== تطبيق في الهندسة ==
[[ملف:Sinussatz Beispiel.png|left|250px|thumb|مثال المثلث القائم]]

بواسطة تعريف جيب الزاوية يمكن حساب الارتفاع <math>h_c</math> في المثلث ''ABC'' بالمتر حيث :

: متر <math>a=5,4</math>

:والزاوية <math>\beta=42^\circ</math>:

:<math>\begin{align}
\frac{h_c}{a} &= \sin(\beta)\\
h_c &= a\cdot \sin(\beta)\\
h_c &= 5{,}4 \cdot \sin (42^\circ) \approx 3{,}613
\end{align}</math>
[[متر]]

مثلما في المثال السابق يمكن حساب الأطوال (والارتفاعات) سواء كانت المقاييس المستخدمة بالمتر أو [[سنتيمتر]] أو [[كيلومتر]].

== قانون الجيب ==
{{مفصلة|قانون الجيب}}

ينص قانون الجيب على أنه: في أي [[مثلث]] أضلاعه هي ''a'' و''b'' و''c'' والزوايا المقابلة لهذه الأضلاع هي ''A'' و''B'' و''C'' على الترتيب يكون:

:<math>\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}.</math>

أو يمكن صياغته بالشكل التالي:

:<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,</math>

حيث ''R'' هو نصف قطر [[دائرة محيطية|الدائرة المحيطية]] لهذا المثلث.

== دائرة الوحدة ==
لحساب جيب الزاوية عندما تتغير الزاوية A بين 0 و360 درجة يمكن استخدام [[دائرة الوحدة]]. تستخدم تلك الطريقة كثيرا في [[الفيزياء]] و[[الفلك]] و[[الهندسة الكهربائية]]. وتفسح دائرة الوحدة المجال لحساب الدوال الموجية، ونبين هنا رسما بيانيا لما يسمى [[موجة جيبية|الموجة الجيبية]].
[[ملف:Unit circle.svg|يمين|تصغير|200بك|دائرة الوحدة.]]
[[ملف:Circle_cos_sin.gif|thumb|400px|left|توضيح لدالة الجيب (بالأحمر) <math>y = \sin{\theta}</math> كنقطة تتحرك على دائرة الوحدة بزاوية ''θ'' بالتقدير الدائري.]]
{{clr}}
== التعريف باستعمال المتسلسلات غير المنتهية ==
[[ملف:Taylorsine.svg|250px|thumb|left|دالة الجيب (أزرق) ومقاربتها بواسطة متسلسلة تايلور من الدرجة السابعة(وردي).]]
يمكن التعبير عن جيب الزاوية لزاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة سلسلة تايلور التالية:

:<math>
\begin{align}
\sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\[8pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}, \\[8pt]
\end{align}
</math>
[[ملف:Sine.gif|250px|thumb|يسار|كلما أخذنا عدد أكبر من [[حد جبري|الحدود الجبرية]] كلما كانت متسلسلة تايلور أكثر تعبيرا عن دالة الجيب.]]
اذا كانت الزاوية مقاسة بالدرجات فسوف تحتوي السلسلة علي كسور مكونة من قوي "ط" مقسومة علي 180 كالتالي:
:<math>\begin{align}
\sin x_\mathrm{deg} & = \sin y_\mathrm{rad} \\
& = \frac{\pi}{180} x - \left (\frac{\pi}{180} \right)^3\ \frac{x^3}{3!} + \left (\frac{\pi}{180} \right)^5\ \frac{x^5}{5!} - \left (\frac{\pi}{180} \right)^7\ \frac{x^7}{7!} + \cdots.
\end{align}</math>

===الكسور المستمرة===

كما يمكن التعبير عن جيب الزاوية x بواسطة [[كسر مستمر معمم|الكسر المستمر المعمم]] التالي:
:<math> \sin x = 
\cfrac{x}{1 + \cfrac{x^2}{2\cdot3-x^2 + 
\cfrac{2\cdot3 x^2}{4\cdot5-x^2 + 
\cfrac{4\cdot5 x^2}{6\cdot7-x^2 + \ddots}}}}.
</math>

== التاريخ==
{{مفصلة|تاريخ الحساب المثلثي}} 
أول من نشر المختصرات sin و cos و tan هو عالم الرياضيات الفرنسي [[ألبرت جيرارد]] ولقد كان ذلك في القرن السادس عشر.

== العلاقة مع الأعداد المركبة ==
[[File:Complex picture.svg|thumb|بيان ل  [[مستوى مركب]]. تظهر [[عدد تخيلي|الأعداد التخيلية]] على محول الإحداثيات العمودي]].

=== دالة الجيب معرفةً على عدد مركب ===
[[File:Complex_sin.jpg|thumb|<math>\sin(z)</math><br/><br/> [[Domain coloring]] of sin(''z'') in the complex plane. Brightness indicates absolute magnitude, saturation represents complex argument.]]
[[File:Sin z vector field 02 Pengo.svg|thumb|sin(''z'') as a vector field]]
[[File:Sinus und Kosinus am Einheitskreis 3.svg|thumb|<math>\sin(\theta)</math> is the imaginary part of <math>e^{i\theta}</math>.]]

: <math>\begin{align}
\sin(z)& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} \\
& = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i} \\
& = \frac{\sinh \left( i z\right) }{i}
\end{align}</math>

== قيم الجيب لبعض الزوايا ==
[[ملف:Sin.svg|يمين|thumb|300px|جا(x)]]
[[ملف:Unit circle angles.svg|left|thumb|300px|بعض الزوايا الشائعة موضحة علي دائرة الوحدة.مقدرة بالدرجات.مع قيم الجيب وجيب التمام المناظرة لها(جا&nbsp;''θ''، جتا&nbsp;''θ'').]]

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
|-----
! style="background:#ffdead;" colspan="3" | ''x'' (الزاوية)
! colspan="2" style="background:#ffdead;" | جيب الزاوية ''x''
|-----
| style="background:#efefef;" align="Center" | درجات
| style="background:#efefef;" | دائري
| style="background:#efefef;" align="Center" | غراد
| style="background:#efefef;" align="Center" | القيمة بالضبط
| style="background:#efefef;" | بالنظام العشري
|-----
| align="Center" | 0° || align="Center" | 0
| align="Center" | 0<sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | 0 || rowspan="2" | 0
|-----
| align="Center" | 180° || align="Center" | <math>\pi</math>
| align="Center" | 200<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 15°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{12}</math>
| align="Center" | 16{{frac|2|3}}<sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | <math>\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math>
| rowspan="2" | 0.258819045102521
|-----
| align="Center" | 165°
| align="Center" | <math>\frac{11 \cdot \pi}{12}</math>
| align="Center" | 183{{frac|1|3}}<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 30°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{6}</math>
| align="Center" | 33{{frac|1|3}}<sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | <math>\frac{1}{2}</math>
| rowspan="2" | 0.5
|-----
| align="Center" | 150°
| align="Center" | <math>\frac{5 \cdot \pi}{6}</math>
| align="Center" | 166{{frac|2|3}}<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 45°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{4}</math>
| align="Center" | 50<sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | <math>\sqrt{\frac{1}{2}}</math>
| rowspan="2" | 0.707106781186548
|-----
| align="Center" | 135°
| align="Center" | <math>\frac{3 \cdot \pi}{4}</math>
| align="Center" | 150<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 60°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{3}</math>
| align="Center" | 66{{frac|2|3}}<sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
| rowspan="2" | 0.866025403784439
|-----
| align="Center" | 120°
| align="Center" | <math>\frac{2 \cdot \pi}{3}</math>
| align="Center" | 133{{frac|1|3}}<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 75°
| align="Center" | <math>\frac{5 \cdot \pi}{12}</math>
| align="Center" | 83{{frac|1|3}}<sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | <math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>
| rowspan="2" | 0.965925826289068
|-----
| align="Center" | 105°
| align="Center" | <math>\frac{7 \cdot \pi}{12}</math>
| align="Center" | 116{{frac|2|3}}<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 90°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{2}</math>
| align="Center" | 100<sup>g</sup> || align="Center" | 1
| 1
|}

== مراجع ==
{{مراجع}}

== انظر أيضا ==
* [[منحنى الجيب]]
* [[جيب التمام]]

{{تصنيف كومنز|Sine function}}

{{شريط بوابات|رياضيات}}
{{بذرة رياضيات}}

[[تصنيف:دوال مثلثية]]
[[تصنيف:زوايا]]